这是关于矩阵秩的一个重要性质，即矩阵 A AA 与矩阵 B BB 的乘积 A B ABAB 的秩小于等于 A AA 的秩和 B BB 的秩中的最小值。

下面为你提供几种证明方法： 证明方法一：基于向量组的线性表示 设 A AA 是 m × n m\times nm×n 矩阵， B BB 是 n × s n\times sn×s 矩阵，令 A B = C AB = CAB=C，C CC 为 m × s m\times sm×s 矩阵。

将 B BB 和 C CC 按列分块， B = ( β 1 , β 2 , ⋯   , β s ) B = (\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s)B=(β1​,β2​,⋯,βs​)，C = ( γ 1 , γ 2 , ⋯   , γ s ) C = (\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_s)C=(γ1​,γ2​,⋯,γs​)，则有： C = A B ( γ 1 , γ 2 , ⋯   , γ s ) = A ( β 1 , β 2 , ⋯   , β s ) γ i = A β i ( i = 1 , 2 , ⋯   , s ) \begin{align*} C&=AB\\ (\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_s)&=A(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s)\\ \gamma_i&=A\beta_i\quad (i = 1,2,\cdots,s) \end{align*} C(γ1​,γ2​,⋯,γs​)γi​​=AB=A(β1​,β2​,⋯,βs​)=Aβi​(i=1,2,⋯,s)​ 这表明 C CC 的列向量组 γ 1 , γ 2 , ⋯   , γ s \gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_sγ1​,γ2​,⋯,γs​ 可由 A AA 的列向量组线性表示。

根据向量组秩的性质：若向量组 α 1 , α 2 , ⋯   , α r \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_rα1​,α2​,⋯,αr​ 可由向量组 β 1 , β 2 , ⋯   , β s \beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_sβ1​,β2​,⋯,βs​ 线性表示，则 r ( α 1 , α 2 , ⋯   , α r ) ≤ r ( β 1 , β 2 , ⋯   , β s ) r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r)\leq r(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_s)r(α1​,α2​,⋯,αr​)≤r(β1​,β2​,⋯,βs​)。

所以 r ( C ) ≤ r ( A ) r(C)\leq r(A)r(C)≤r(A)，即 r ( A B ) ≤ r ( A ) r(AB)\leq r(A)r(AB)≤r(A)。

再将 A AA 和 C CC 按行分块，同理可证 r ( A B ) ≤ r ( B ) r(AB)\leq r(B)r(AB)≤r(B)。

综上可得 r ( A B ) ≤ min ⁡ { r ( A ) , r ( B ) } r(AB)\leq\min\{r(A),r(B)\}r(AB)≤min{r(A),r(B)}。

证明方法二：利用方程组解的性质 设 A AA 是 m × n m\times nm×n 矩阵， B BB 是 n × s n\times sn×s 矩阵，令 A B = C AB = CAB=C。

考虑齐次线性方程组 B x = 0 Bx = 0Bx=0 和 A B x = 0 ABx = 0ABx=0。

若 x xx 是 B x = 0 Bx = 0Bx=0 的解，即 B x = 0 Bx = 0Bx=0，那么 A B x = A ( B x ) = A 0 = 0 ABx = A(Bx) = A0 = 0ABx=A(Bx)=A0=0，所以 B x = 0 Bx = 0Bx=0 的解都是 A B x = 0 ABx = 0ABx=0 的解。

根据齐次线性方程组解空间的维数定理：对于 n nn 元齐次线性方程组 A x = 0 Ax = 0Ax=0，其解空间的维数 N ( A ) = n − r ( A ) N(A)=n - r(A)N(A)=n−r(A)。

设 B x = 0 Bx = 0Bx=0 的解空间为 S 1 S_1S1​，A B x = 0 ABx = 0ABx=0 的解空间为 S 2 S_2S2​，则 S 1 ⊆ S 2 S_1\subseteq S_2S1​⊆S2​，所以 N ( B ) ≤ N ( A B ) N(B)\leq N(AB)N(B)≤N(AB)，即 s − r ( B ) ≤ s − r ( A B ) s - r(B)\leq s - r(AB)s−r(B)≤s−r(AB)，从而 r ( A B ) ≤ r ( B ) r(AB)\leq r(B)r(AB)≤r(B)。

同理，考虑 A T y = 0 A^Ty = 0ATy=0 和 ( A B ) T y = B T A T y = 0 (AB)^Ty = B^TA^Ty = 0(AB)Ty=BTATy=0，可证得 r ( A B ) ≤ r ( A ) r(AB)\leq r(A)r(AB)≤r(A)。

所以 r ( A B ) ≤ min ⁡ { r ( A ) , r ( B ) } r(AB)\leq\min\{r(A),r(B)\}r(AB)≤min{r(A),r(B)}。