什么是形函数?

形函数（Shape Function）是有限元分析等数值计算领域中的一个重要概念，以下从不同角度为你详细介绍：定义在有限元方法里，形函数是用于在单元内部对未知场变量（如位移、温度等）进行插值近似的函数。

简单来说，它能根据单元节点上已知的物理量值，来描述单元内任意位置处该物理量的分布情况。

性质节点取值特性：形函数在节点上具有特定的取值。

在某个节点处，对应于该节点的形函数值为1 ，而在其他节点处，其值为0。

例如，对于一个具有节点i、j、k 的单元，形函数Ni 在节点i 处Ni(xi,yi)=1，在节点j 和k 处Ni(xj,yj)=0 ，Ni(xk,yk)=0 ；Nj、Nk 同理。

完备性：所有形函数之和恒等于1。

即对于一个包含n个节点的单元，∑Ni = 1（i从1到n ），这保证了场变量在单元内的连续性和协调性。

作用场变量插值：通过形函数，可以将单元节点上的物理量（如位移、应力等）插值到单元内部的任意点。

假设在结构力学问题中，已知单元节点的位移值，利用形函数就能构建出整个单元内的位移分布函数，进而了解结构在受力时的变形情况。

建立有限元方程：形函数是建立有限元方程的基础。

在推导单元刚度矩阵、质量矩阵以及载荷向量等有限元分析关键方程时，形函数起着核心作用。

通过对形函数及其导数进行积分运算，可以得到描述单元力学特性的各种矩阵和向量。

常见类型线性形函数：适用于简单的线性插值情况，例如一维杆单元或二维三角形常应变单元。

线性形函数形式简单，计算量小，但精度相对有限。

以一维杆单元为例，其形函数通常为关于坐标的线性函数。

高次形函数：包括二次、三次等更高阶的形函数。

高次形函数可以提供更精确的插值结果，适用于对精度要求较高的问题或复杂的几何形状和物理现象模拟。

比如在二维四边形单元中，采用二次形函数可以更好地拟合曲线边界和复杂的场变量分布。

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