首先回顾双曲函数tanh ⁡ x \tanh xtanhx的定义： 双曲正切函数tanh ⁡ x = sinh ⁡ x cosh ⁡ x \tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}tanhx=coshxsinhx​，其中双曲正弦函数sinh ⁡ x = e x − e − x 2 \sinh x = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}sinhx=2ex−e−x​，双曲余弦函数cosh ⁡ x = e x + e − x 2 \cosh x=\frac{e^{x} + e^{-x}}{2}coshx=2ex+e−x​。

然后根据除法求导公式( u v ) ′ = u ′ v − u v ′ v 2 (\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^{2}}(vu​)′=v2u′v−uv′​来求tanh ⁡ x \tanh xtanhx的导数： 对于y = tanh ⁡ x = sinh ⁡ x cosh ⁡ x y = \tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}y=tanhx=coshxsinhx​，这里u = sinh ⁡ x u = \sinh xu=sinhx，v = cosh ⁡ x v=\cosh xv=coshx。

先求u ′ u^\primeu′和v ′ v^\primev′： 因为( sinh ⁡ x ) ′ = ( e x − e − x 2 ) ′ = ( e x ) ′ − ( e − x ) ′ 2 = e x + e − x 2 = cosh ⁡ x (\sinh x)^\prime = (\frac{e^{x}-e^{-x}}{2})^\prime=\frac{(e^{x})^\prime-(e^{-x})^\prime}{2}=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}=\cosh x(sinhx)′=(2ex−e−x​)′=2(ex)′−(e−x)′​=2ex+e−x​=coshx。

又因为( cosh ⁡ x ) ′ = ( e x + e − x 2 ) ′ = ( e x ) ′ + ( e − x ) ′ 2 = e x − e − x 2 = sinh ⁡ x (\cosh x)^\prime = (\frac{e^{x}+e^{-x}}{2})^\prime=\frac{(e^{x})^\prime+(e^{-x})^\prime}{2}=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=\sinh x(coshx)′=(2ex+e−x​)′=2(ex)′+(e−x)′​=2ex−e−x​=sinhx。

再根据除法求导公式求y ′ y^\primey′： y ′ = ( sinh ⁡ x cosh ⁡ x ) ′ = ( sinh ⁡ x ) ′ cosh ⁡ x − sinh ⁡ x ( cosh ⁡ x ) ′ cosh ⁡ 2 x y^\prime = (\frac{\sinh x}{\cosh x})^\prime=\frac{(\sinh x)^\prime\cosh x-\sinh x(\cosh x)^\prime}{\cosh^{2}x}y′=(coshxsinhx​)′=cosh2x(sinhx)′coshx−sinhx(coshx)′​。

把( sinh ⁡ x ) ′ = cosh ⁡ x (\sinh x)^\prime=\cosh x(sinhx)′=coshx，( cosh ⁡ x ) ′ = sinh ⁡ x (\cosh x)^\prime = \sinh x(coshx)′=sinhx代入上式得： y ′ = cosh ⁡ x ⋅ cosh ⁡ x − sinh ⁡ x ⋅ sinh ⁡ x cosh ⁡ 2 x y^\prime=\frac{\cosh x\cdot\cosh x-\sinh x\cdot\sinh x}{\cosh^{2}x}y′=cosh2xcoshx⋅coshx−sinhx⋅sinhx​。

根据双曲函数的恒等式cosh ⁡ 2 x − sinh ⁡ 2 x = 1 \cosh^{2}x-\sinh^{2}x = 1cosh2x−sinh2x=1，则y ′ = cosh ⁡ 2 x − sinh ⁡ 2 x cosh ⁡ 2 x = 1 cosh ⁡ 2 x y^\prime=\frac{\cosh^{2}x-\sinh^{2}x}{\cosh^{2}x}=\frac{1}{\cosh^{2}x}y′=cosh2xcosh2x−sinh2x​=cosh2x1​。

所以tanh ⁡ x \tanh xtanhx的导数为1 cosh ⁡ 2 x \frac{1}{\cosh^{2}x}cosh2x1​ 。