一般指数函数y = a x y = a^{x}y=ax（a > 0 a > 0a>0且a ≠ 1 a\neq1a=1）的导数公式推导 根据导数的定义，函数y = f ( x ) y = f(x)y=f(x)在点x 0 x_0x0​处的导数f ′ ( x 0 ) = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x f^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}f′(x0​)=Δx→0lim​Δxf(x0​+Δx)−f(x0​)​。

对于指数函数y = a x y = a^{x}y=ax，y ′ = lim ⁡ Δ x → 0 a x + Δ x − a x Δ x y^\prime=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{a^{x + \Delta x}-a^{x}}{\Delta x}y′=Δx→0lim​Δxax+Δx−ax​。

对a x + Δ x − a x Δ x \frac{a^{x + \Delta x}-a^{x}}{\Delta x}Δxax+Δx−ax​进行变形，a x + Δ x − a x Δ x = a x ⋅ a Δ x − a x Δ x = a x ⋅ a Δ x − 1 Δ x \frac{a^{x + \Delta x}-a^{x}}{\Delta x}=\frac{a^{x}\cdot a^{\Delta x}-a^{x}}{\Delta x}=a^{x}\cdot\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}Δxax+Δx−ax​=Δxax⋅aΔx−ax​=ax⋅ΔxaΔx−1​。

令t = a Δ x − 1 t = a^{\Delta x}-1t=aΔx−1，则a Δ x = t + 1 a^{\Delta x}=t + 1aΔx=t+1，Δ x = log ⁡ a ( t + 1 ) \Delta x=\log_{a}(t + 1)Δx=loga​(t+1)。

当Δ x → 0 \Delta x \to 0Δx→0时，t → 0 t \to 0t→0。

那么lim ⁡ Δ x → 0 a Δ x − 1 Δ x = lim ⁡ t → 0 t log ⁡ a ( t + 1 ) = lim ⁡ t → 0 1 1 t log ⁡ a ( t + 1 ) = lim ⁡ t → 0 1 log ⁡ a ( t + 1 ) 1 t \lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}=\lim\limits_{t \to 0}\frac{t}{\log_{a}(t + 1)}=\lim\limits_{t \to 0}\frac{1}{\frac{1}{t}\log_{a}(t + 1)}=\lim\limits_{t \to 0}\frac{1}{\log_{a}(t + 1)^{\frac{1}{t}}}Δx→0lim​ΔxaΔx−1​=t→0lim​loga​(t+1)t​=t→0lim​t1​loga​(t+1)1​=t→0lim​loga​(t+1)t1​1​。

根据重要极限lim ⁡ t → 0 ( 1 + t ) 1 t = e \lim\limits_{t \to 0}(1 + t)^{\frac{1}{t}} = et→0lim​(1+t)t1​=e，所以lim ⁡ t → 0 1 log ⁡ a ( t + 1 ) 1 t = 1 log ⁡ a e = ln ⁡ a \lim\limits_{t \to 0}\frac{1}{\log_{a}(t + 1)^{\frac{1}{t}}}=\frac{1}{\log_{a}e}=\ln at→0lim​loga​(t+1)t1​1​=loga​e1​=lna。

所以( a x ) ′ = a x ln ⁡ a (a^{x})^\prime=a^{x}\ln a(ax)′=axlna。

特殊情况，当a = e a = ea=e时 因为ln ⁡ e = 1 \ln e = 1lne=1，对于指数函数y = e x y = e^{x}y=ex，其导数( e x ) ′ = e x ln ⁡ e = e x (e^{x})^\prime=e^{x}\ln e = e^{x}(ex)′=exlne=ex。

综上，指数函数y = a x y = a^{x}y=ax（a > 0 a > 0a>0且a ≠ 1 a\neq1a=1）的导数为y ′ = a x ln ⁡ a y^\prime=a^{x}\ln ay′=axlna；指数函数y = e x y = e^{x}y=ex的导数为y ′ = e x y^\prime = e^{x}y′=ex 。