首先明确伴随矩阵与代数余子式的关系： 已知A = ( a i j ) A = (a_{ij})A=(aij​)是三阶矩阵，A ∗ = ( A j i ) A^{*}=(A_{ji})A∗=(Aji​)（伴随矩阵的元素是原矩阵对应元素的代数余子式按转置方式排列），且a i j = − A i j ( i , j = 1 , 2 , 3 ) a_{ij}=-A_{ij}(i,j = 1,2,3)aij​=−Aij​(i,j=1,2,3)，那么A T = − A ∗ A^{T}=-A^{*}AT=−A∗。

然后利用伴随矩阵的性质A A ∗ = ∣ A ∣ E AA^{*}=\vert A\vert EAA∗=∣A∣E： 因为A T = − A ∗ A^{T}=-A^{*}AT=−A∗，两边同时取行列式可得∣ A T ∣ = ∣ − A ∗ ∣ \vert A^{T}\vert=\vert -A^{*}\vert∣AT∣=∣−A∗∣。

根据矩阵转置的行列式性质∣ A T ∣ = ∣ A ∣ \vert A^{T}\vert=\vert A\vert∣AT∣=∣A∣，以及∣ k A ∣ = k n ∣ A ∣ \vert kA\vert = k^{n}\vert A\vert∣kA∣=kn∣A∣（这里n nn是矩阵的阶数，本题n = 3 n = 3n=3，k = − 1 k=-1k=−1），对于∣ − A ∗ ∣ \vert -A^{*}\vert∣−A∗∣有∣ − A ∗ ∣ = ( − 1 ) 3 ∣ A ∗ ∣ \vert -A^{*}\vert=(-1)^{3}\vert A^{*}\vert∣−A∗∣=(−1)3∣A∗∣。

又因为∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 \vert A^{*}\vert=\vert A\vert^{n - 1}∣A∗∣=∣A∣n−1（n = 3 n = 3n=3时，∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ 2 \vert A^{*}\vert=\vert A\vert^{2}∣A∗∣=∣A∣2），所以∣ A ∣ = ( − 1 ) 3 ∣ A ∣ 2 \vert A\vert=(-1)^{3}\vert A\vert^{2}∣A∣=(−1)3∣A∣2，即∣ A ∣ = − ∣ A ∣ 2 \vert A\vert=-\vert A\vert^{2}∣A∣=−∣A∣2。

移项得到∣ A ∣ 2 + ∣ A ∣ = 0 \vert A\vert^{2}+\vert A\vert = 0∣A∣2+∣A∣=0，因式分解得∣ A ∣ ( ∣ A ∣ + 1 ) = 0 \vert A\vert(\vert A\vert + 1)=0∣A∣(∣A∣+1)=0，解得∣ A ∣ = 0 \vert A\vert = 0∣A∣=0或∣ A ∣ = − 1 \vert A\vert=-1∣A∣=−1。

接着判断∣ A ∣ \vert A\vert∣A∣的值： 由于A AA是非零矩阵，假设a p q ≠ 0 a_{pq}\neq0apq​=0。

根据A A ∗ = ∣ A ∣ E A A^{*}=\vert A\vert EAA∗=∣A∣E，且A T = − A ∗ A^{T}=-A^{*}AT=−A∗，则A A T = − ∣ A ∣ E AA^{T}=-\vert A\vert EAAT=−∣A∣E。

考虑A A T AA^{T}AAT的( i , i ) (i,i)(i,i)元，( A A T ) i i = ∑ j = 1 3 a i j 2 (AA^{T})_{ii}=\sum_{j = 1}^{3}a_{ij}^{2}(AAT)ii​=∑j=13​aij2​。

那么A A T = − ∣ A ∣ E AA^{T}=-\vert A\vert EAAT=−∣A∣E的( i , i ) (i,i)(i,i)元为∑ j = 1 3 a i j 2 = − ∣ A ∣ \sum_{j = 1}^{3}a_{ij}^{2}=-\vert A\vert∑j=13​aij2​=−∣A∣（当i = 1 , 2 , 3 i = 1,2,3i=1,2,3）。

因为A AA是非零矩阵，所以至少有一个i ii使得∑ j = 1 3 a i j 2 > 0 \sum_{j = 1}^{3}a_{ij}^{2}>0∑j=13​aij2​>0，即− ∣ A ∣ > 0 -\vert A\vert>0−∣A∣>0，所以∣ A ∣ < 0 \vert A\vert<0∣A∣<0。

结合前面∣ A ∣ = 0 \vert A\vert = 0∣A∣=0或∣ A ∣ = − 1 \vert A\vert=-1∣A∣=−1，可得∣ A ∣ = − 1 \vert A\vert=-1∣A∣=−1。

综上，∣ A ∣ = − 1 \vert A\vert=-1∣A∣=−1。