实数教案（一） 一、教学目标 了解无理数和实数的概念，能对实数按要求进行分类。

知道实数与数轴上的点一一对应，能根据实数在数轴上的位置比较大小。

经历从有理数扩充到实数的过程，体会类比的数学思想，发展学生的数感。

二、教学重难点 重点 无理数和实数的概念，实数的分类。

实数与数轴上的点的一一对应关系。

难点 对无理数的认识。

理解实数与数轴上的点的一一对应关系。

三、教学方法 讲授法、讨论法、自主探究法相结合 四、教学过程 导入新课（5分钟） 通过回顾有理数的概念和分类，提问学生：“我们学过的数有哪些？它们是如何分类的？”引导学生回答整数、分数统称为有理数，有理数可以分为正有理数、零、负有理数。

接着展示一些数字，如2 \sqrt{2}2​，π \piπ等，让学生思考这些数是否属于有理数，引发学生的认知冲突，从而引出本节课的主题——实数。

讲授新课（25分钟） 无理数的概念 利用多媒体展示2 \sqrt{2}2​的计算过程，让学生观察发现2 \sqrt{2}2​是一个无限不循环小数。

给出无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。

并举例说明，如π \piπ，− 3 -\sqrt{3}−3​，0.1010010001 ⋯ 0.1010010001\cdots0.1010010001⋯（每两个1 11之间依次多一个0 00）等都是无理数。

实数的概念及分类 讲解实数的概念：有理数和无理数统称为实数。

引导学生对实数进行分类，给出两种分类方式： 按定义分类：实数可分为有理数和无理数，有理数又包括整数和分数，无理数就是无限不循环小数。

按性质分类：实数可分为正实数、零、负实数，正实数包括正有理数和正无理数，负实数包括负有理数和负无理数。

实数与数轴上的点的关系 在黑板上画出数轴，先让学生回顾有理数与数轴上的点的关系，即每一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，但数轴上的点并不都表示有理数。

然后通过动画演示，将2 \sqrt{2}2​在数轴上表示出来，说明每一个无理数也都可以用数轴上的一个点来表示。

进而得出结论：实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。

例题讲解（15分钟） 例1：判断下列各数哪些是有理数？哪些是无理数？哪些是实数？ − 3 -3−3，22 7 \frac{22}{7}722​，5 \sqrt{5}5​，0 00，π \piπ，− 4 -\sqrt{4}−4​，3.14 3.143.14，0.1010010001 ⋯ 0.1010010001\cdots0.1010010001⋯ 分析：根据有理数、无理数、实数的定义进行判断。

解：有理数有：− 3 -3−3，22 7 \frac{22}{7}722​，0 00，− 4 = − 2 -\sqrt{4}=-2−4​=−2，3.14 3.143.14； 无理数有：5 \sqrt{5}5​，π \piπ，0.1010010001 ⋯ 0.1010010001\cdots0.1010010001⋯； 实数有：− 3 -3−3，22 7 \frac{22}{7}722​，5 \sqrt{5}5​，0 00，π \piπ，− 4 -\sqrt{4}−4​，3.14 3.143.14，0.1010010001 ⋯ 0.1010010001\cdots0.1010010001⋯ 例2：在数轴上找出表示3 \sqrt{3}3​的点。

分析：利用勾股定理构造直角三角形，以1 11和2 \sqrt{2}2​为直角边构造直角三角形，斜边即为3 \sqrt{3}3​。

解：略（教师详细讲解画图步骤和原理） 课堂练习（10分钟） 教材课后练习题，让学生独立完成，教师巡视指导，及时纠正学生的错误。

补充练习：比较5 \sqrt{5}5​与2 22的大小。

分析：可将2 22转化为4 \sqrt{4}4​，再根据两个正数比较大小，被开方数大的数大来判断。

解：因为2 = 4 2 = \sqrt{4}2=4​，且5 > 4 5\gt45>4，所以5 > 4 \sqrt{5}\gt\sqrt{4}5​>4​，即5 > 2 \sqrt{5}\gt25​>2。

课堂小结（5分钟） 请学生回顾本节课所学内容，包括无理数、实数的概念，实数的分类，以及实数与数轴上的点的关系。

教师进行总结和补充，强调重点知识和易错点。

布置作业（5分钟） 书面作业：课本习题XX页第X、X、X题。

拓展作业：查阅资料，了解无理数的发现历程，并写一篇简短的心得体会。

五、教学反思 通过本节课的教学，学生对无理数和实数的概念有了初步的认识，但在对无理数的理解和实数的分类上可能还存在一些困难。

在今后的教学中，应加强对概念的深入讲解和练习巩固，注重培养学生的数学思维能力和类比归纳能力。

同时，在教学过程中要关注学生的学习状态，及时调整教学方法和策略，以提高教学效果。

实数教案（二） 一、教学目标 进一步理解无理数和实数的概念，掌握实数的性质运算。

能熟练进行实数的加、减、乘、除、乘方、开方运算，并能运用运算律简化运算。

通过实数运算的学习，培养学生的运算能力和严谨的治学态度。

二、教学重难点 重点 实数的运算法则和运算律。

实数的混合运算。

难点 准确进行实数的运算，特别是涉及无理数的运算。

合理运用运算律简化实数运算。

三、教学方法 讲练结合法、启发式教学法 四、教学过程 复习导入（5分钟） 提问学生无理数和实数的概念，让学生举例说明无理数和实数。

回顾有理数的运算法则和运算律，如加法交换律a + b = b + a a + b = b + aa+b=b+a，乘法结合律( a b ) c = a ( b c ) (ab)c = a(bc)(ab)c=a(bc)等，为学习实数的运算做铺垫。

讲授新课（25分钟） 实数的运算法则 讲解实数的加、减、乘、除、乘方、开方运算与有理数的同类运算基本相同。

例如，实数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

强调在进行实数运算时，有理数的运算法则和运算律同样适用于实数。

比如，2 + 3 2 = ( 1 + 3 ) 2 = 4 2 \sqrt{2} + 3\sqrt{2} = (1 + 3)\sqrt{2} = 4\sqrt{2}2​+32​=(1+3)2​=42​，这是运用了乘法分配律。

实数的混合运算 通过具体的例题，如计算2 3 + 2 − 3 + 3 2 2\sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{3} + 3\sqrt{2}23​+2​−3​+32​，引导学生按照先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减的顺序进行运算，如果有括号，先算括号里面的。

解：2 3 + 2 − 3 + 3 2 = ( 2 3 − 3 ) + ( 2 + 3 2 ) = 3 + 4 2 2\sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{3} + 3\sqrt{2} = (2\sqrt{3} - \sqrt{3}) + (\sqrt{2} + 3\sqrt{2}) = \sqrt{3} + 4\sqrt{2}23​+2​−3​+32​=(23​−3​)+(2​+32​)=3​+42​ 再如计算( 5 − 2 ) 2 + 20 (\sqrt{5} - 2)^2 + \sqrt{20}(5​−2)2+20​，先利用完全平方公式展开( 5 − 2 ) 2 (\sqrt{5} - 2)^2(5​−2)2，再进行化简和运算。

解：( 5 − 2 ) 2 + 20 = ( 5 ) 2 − 2 × 5 × 2 + 2 2 + 2 5 = 5 − 4 5 + 4 + 2 5 = 9 − 2 5 (\sqrt{5} - 2)^2 + \sqrt{20} = (\sqrt{5})^2 - 2\times\sqrt{5}\times2 + 2^2 + 2\sqrt{5} = 5 - 4\sqrt{5} + 4 + 2\sqrt{5} = 9 - 2\sqrt{5}(5​−2)2+20​=(5​)2−2×5​×2+22+25​=5−45​+4+25​=9−25​ 例题讲解（15分钟） 例1：计算12 − 1 3 + 27 \sqrt{12} - \sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{27}12​−31​​+27​ 分析：先将各项根式化简，再进行合并同类二次根式的运算。

解：12 = 2 3 \sqrt{12} = 2\sqrt{3}12​=23​，1 3 = 3 3 \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}31​​=33​​，27 = 3 3 \sqrt{27} = 3\sqrt{3}27​=33​ 原式= 2 3 − 3 3 + 3 3 = ( 2 − 1 3 + 3 ) 3 = 14 3 3 = 2\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} + 3\sqrt{3} = (2 - \frac{1}{3} + 3)\sqrt{3} = \frac{14}{3}\sqrt{3}=23​−33​​+33​=(2−31​+3)3​=314​3​ 例2：计算( 3 + 1 ) ( 3 − 1 ) + 16 ÷ 2 (\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1) + \sqrt{16}\div\sqrt{2}(3​+1)(3​−1)+16​÷2​ 分析：先利用平方差公式计算( 3 + 1 ) ( 3 − 1 ) (\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)(3​+1)(3​−1)，再分别计算除法和加法。

解：( 3 + 1 ) ( 3 − 1 ) = ( 3 ) 2 − 1 2 = 3 − 1 = 2 (\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1) = (\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2(3​+1)(3​−1)=(3​)2−12=3−1=2 16 ÷ 2 = 16 ÷ 2 = 8 = 2 2 \sqrt{16}\div\sqrt{2} = \sqrt{16\div2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}16​÷2​=16÷2​=8​=22​ 原式= 2 + 2 2 = 2 + 2\sqrt{2}=2+22​ 课堂练习（10分钟） 安排课本上的相关练习题，让学生分组进行计算，每组派一名代表上台板演。

教师巡视各小组的练习情况，及时给予指导和纠正。

对学生普遍存在的问题进行集中讲解。

课堂小结（5分钟） 引导学生回顾实数的运算法则和运算律，总结实数混合运算的步骤和注意事项。

强调在进行实数运算时要仔细认真，注意符号和根式的化简。

布置作业（5分钟） 书面作业：完成配套练习册上的相关习题。

实践作业：让学生在生活中寻找至少两个可以用实数运算解决的实际问题，并记录下来。

五、教学反思 在本节课的教学中，学生对实数的运算有了一定的掌握，但在运算的准确性和速度上还有待提高。

在今后的教学中，可以增加一些针对性的练习，强化学生的运算技能。

同时，要注重培养学生的解题思路和方法，引导学生学会分析题目，选择合适的运算律和方法进行简便运算。

实数教案（三） 一、教学目标 理解实数的相反数、绝对值的意义，会求一个实数的相反数和绝对值。

能利用实数的相反数和绝对值的性质解决相关问题，进一步体会数形结合的思想。

通过对比有理数的相反数和绝对值，培养学生的类比学习能力和知识迁移能力。

二、教学重难点 重点 实数的相反数和绝对值的概念及性质。

求一个实数的相反数和绝对值。

难点 理解实数的绝对值在数轴上的几何意义，并能运用其性质解决实际问题。

对含有绝对值符号的实数式子进行化简。

三、教学方法 类比教学法、直观演示法 四、教学过程 复习导入（5分钟） 提问学生有理数的相反数和绝对值的概念，让学生举例说明。

例如，5 55的相反数是− 5 -5−5，∣ − 3 ∣ = 3 \vert - 3\vert = 3∣−3∣=3。

引导学生回顾有理数的相反数和绝对值在数轴上的表示方法，为学习实数的相反数和绝对值做铺垫。

讲授新课（25分钟） 实数的相反数 类比有理数的相反数概念，讲解实数的相反数：数a aa的相反数是− a -a−a，这里a aa表示任意一个实数。

例如，2 \sqrt{2}2​的相反数是− 2 -\sqrt{2}−2​，− π -\pi−π的相反数是π \piπ。

强调互为相反数的两个实数在数轴上对应的点关于原点对称。

通过在数轴上画出一些实数及其相反数的点，让学生直观感受这一性质。

实数的绝对值 给出实数绝对值的定义：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0 00的绝对值是0 00。

用数学式子表示为：∣ a ∣ = { a , a > 0 0 , a = 0 − a , a < 0 \vert a\vert = \begin{cases}a, & a\gt0 \\ 0, & a = 0 \\ -a, & a\lt0\end{cases}∣a∣=⎩⎨⎧​a,0,−a,​a>0a=0a<0​ 结合数轴，讲解实数绝对值的几何意义：实数a aa的绝对值∣ a ∣ \vert a\vert∣a∣就是数轴上表示数a aa的点与原点的距离。

例如，∣ 3 ∣ \vert\sqrt{3}\vert∣3​∣表示数轴上表示3 \sqrt{3}3​的点到原点的距离，其值为3 \sqrt{3}3​。

例题讲解 例1：求下列各数的相反数和绝对值：3 2 3\sqrt{2}32​，− 5 -\sqrt{5}−5​，0 00，π − 3 \pi - 3π−3 分析：根据实数的相反数和绝对值的定义进行求解。

解：3 2 3\sqrt{2}32​的相反数是− 3 2 -3\sqrt{2}−32​，绝对值是3 2 3\sqrt{2}32​； − 5 -\sqrt{5}−5​的相反数是5 \sqrt{5}5​，绝对值是5 \sqrt{5}5​； 0 00的相反数是0 00，绝对值是0 00； 因为π ≈ 3.14 > 3 \pi\approx3.14\gt3π≈3.14>3，所以π − 3 > 0 \pi - 3\gt0π−3>0，π − 3 \pi - 3π−3的相反数是3 − π 3 - \pi3−π，绝对值是π − 3 \pi - 3π−3。

例2：化简∣ 2 − 1 ∣ + ∣ 3 − 2 ∣ \vert\sqrt{2} - 1\vert + \vert\sqrt{3} - \sqrt{2}\vert∣2​−1∣+∣3​−2​∣ 分析：先判断绝对值符号内式子的正负性，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号进行化简。

解：因为2 ≈ 1.414 > 1 \sqrt{2}\approx1.414\gt12​≈1.414>1，所以2 − 1 > 0 \sqrt{2} - 1\gt02​−1>0，∣ 2 − 1 ∣ = 2 − 1 \vert\sqrt{2} - 1\vert = \sqrt{2} - 1∣2​−1∣=2​−1； 因为3 ≈ 1.732 > 2 \sqrt{3}\approx1.732\gt\sqrt{2}3​≈1.732>2​，所以3 − 2 > 0 \sqrt{3} - \sqrt{2}\gt03​−2​>0，∣ 3 − 2 ∣ = 3 − 2 \vert\sqrt{3} - \sqrt{2}\vert = \sqrt{3} - \sqrt{2}∣3​−2​∣=3​−2​。

原式= 2 − 1 + 3 − 2 = 3 − 1 = \sqrt{2} - 1 + \sqrt{3} - \sqrt{2} = \sqrt{3} - 1=2​−1+3​−2​=3​−1 课堂练习（10分钟） 安排课本上的练习题，让学生独立完成求一些实数的相反数和绝对值，并化简含有绝对值的式子。

教师巡视学生的练习情况，及时发现学生存在的问题并进行个别指导。

课堂小结（5分钟） 请学生回顾实数的相反数和绝对值的概念、性质以及求法。

教师强调在求实数的绝对值时，关键是判断实数的正负性，这是正确去掉绝对值符号的前提。

布置作业（5分钟） 书面作业：课本习题XX页第X、X、X题。

拓展作业：已知∣ x − 2 ∣ + ∣ y + 3 ∣ = 0 \vert x - \sqrt{2}\vert + \vert y + \sqrt{3}\vert = 0∣x−2​∣+∣y+3​∣=0，求x + y x + yx+y的值，并思考绝对值的非负性在这类问题中的应用。

五、教学反思 通过本节课的教学，学生对实数的相反数