衰变常数计算公式

衰变常数（ $\lambda$ ）是描述放射性核素衰变速度的物理量，它与放射性原子核的数目随时间的变化率有关。其计算公式基于放射性衰变的基本规律。

对于放射性物质，在某一时刻 $t$ ，放射性原子核的数目 $N$ 随时间 $t$ 的变化遵循指数衰减规律，即：

$\frac{dN}{dt} = -\lambda N$

其中， $\frac{dN}{dt}$ 表示原子核数目随时间的变化率，负号表示原子核数目随时间减少。

对上式进行积分求解可得：

$N = N_0 e^{-\lambda t}$

式中， $N_0$ 是初始时刻（ $t = 0$ ）的原子核数目， $N$ 是经过时间 $t$ 后的原子核数目。

从这个式子可以反推出衰变常数 $\lambda$ 的计算公式：

$\lambda = \frac{1}{t} \ln\frac{N_0}{N}$

另外，在放射性衰变中，半衰期（ $T_{1/2}$ ）是一个重要概念，它是指放射性原子核数目衰变掉一半所需要的时间。当 $t = T_{1/2}$ 时， $N = \frac{N_0}{2}$ ，代入 $N = N_0 e^{-\lambda t}$ 可得：

$\frac{N_0}{2} = N_0 e^{-\lambda T_{1/2}}$

化简后得到衰变常数与半衰期的关系：

$\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} \approx \frac{0.693}{T_{1/2}}$

这也是计算衰变常数常用的公式之一，通过测量放射性核素的半衰期，就可以方便地计算出其衰变常数。

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